Pergunta:
Ache os pontos críticos de cada função abaixo e classifique-osa) f(x,y)=x^2+y^2-xy-3x-4yb) f(x,y)=x^2+2xy+y^2c) f(x,y)=x^3+2y^2-3x-4yd f(x,y)=x^2y^2
Para encontrar os pontos críticos de cada função, seguiremos os seguintes passos:
Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem (fx e fy) da função.
Igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos o sistema de equações para encontrar os pontos críticos.
A classificação dos pontos críticos envolve a análise da matriz Hessiana, que é formada pelas segundas derivadas parciais da função.
Vejamos cada caso:
a) f(x, y) = x^2 + y^2 – xy – 3x – 4y
Derivadas parciais:
fx = 2x – y – 3
fy = 2y – x – 4
Igualando a zero:
2x – y – 3 = 0
2y – x – 4 = 0
Resolvendo o sistema, encontramos o ponto crítico (3, 2).
Matriz Hessiana:
H = [[2, -1], [-1, 2]]
Determinante da Hessiana:
det(H) = 3 > 0
Como o determinante é positivo e o elemento H11 (2) é positivo, o ponto crítico (3, 2) é um mínimo local.
b) f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2
Derivadas parciais:
fx = 2x + 2y
fy = 2x + 2y
Igualando a zero:
2x + 2y = 0
A única solução é x = -y. Portanto, todos os pontos da reta x = -y são pontos críticos.
A classificação desses pontos requer análise adicional, pois a Hessiana é singular.
c) f(x, y) = x^3 + 2y^2 – 3x – 4y
Derivadas parciais:
fx = 3x^2 – 3
fy = 4y – 4
Igualando a zero:
3x^2 – 3 = 0
4y – 4 = 0
Resolvendo o sistema, encontramos os pontos críticos (1, 1) e (-1, 1).
Matriz Hessiana:
H = [[6x, 0], [0, 4]]
Avaliando a Hessiana nos pontos críticos:
Para (1, 1), det(H) = 24 > 0 e H11 = 6 > 0, logo é um mínimo local.
Para (-1, 1), det(H) = -24 < 0, logo é um ponto de sela.
d) f(x, y) = x^2y^2
Derivadas parciais:
fx = 2xy^2
fy = 2x^2y
Igualando a zero:
2xy^2 = 0
2x^2y = 0
As soluções são (0, y) para qualquer y e (x, 0) para qualquer x. Portanto, todos os pontos do eixo x e do eixo y são pontos críticos.
A classificação desses pontos requer análise adicional, pois a Hessiana é singular.
Lembre-se de que a análise da Hessiana é fundamental para a classificação dos pontos críticos. Em alguns casos, como nas funções b e d, podem ser necessárias análises complementares para determinar o comportamento da função nos pontos críticos.
Guilherme
Desenvolvedor Full Stack com formação em Análise e Desenvolvimento de Sistemas (ADS). Especialista em tecnologia e SEO, dedicando a transformar informações complexas em guias práticos e acessíveis no portal Toda Matéria.
