Pergunta:
um capital de R$15000,00aplicado durante 2 anos rendeu juros de R$1000,00 determine a taxa anual a juros composto
aproximadamente 3,28% a.a.
Explicação passo a passo:
Capital: 15.000
Período: 2 anos
Juros: 1.000
Seja x a taxa de juros anual.
1) No primeiro ano, o rendimento J1 da taxa de juros ocorreu somente sobre o capital:
J1 = Capital * x
2) No segundo ano, o rendimento de J2 = 1000,00 ocorreu sobre o capital e sobre o juros J1 que rendeu no primeiro ano:
J2 = Capital * (1 + x)² – Capital
J2 = 15000 * (1 + 2x + x²) – 15000
J2 = 15000x² + 30000x + 15000 – 15000
J2 = 15000x² + 30000x
3) J2 = 1000
1000 = 15000x² + 30000x
15000x² + 30000x – 1000 = 0
15x² + 30x – 1 = 0
4) Por Bhaskara:
[tex]x1 = (-b + \sqrt{\Delta} ) / 2a\\x1 = (-30 + \sqrt{960}) / (2*15)\\x1 = (-30 + 30,9839) / (2*15)\\x1 = 0,9839 / 30\\x1 = 0,0328\\[/tex]
x1 = 3,28%
[tex]x2 = (-b – \sqrt{\Delta} ) / 2a\\x2 = (-30 – \sqrt{960}) / (2*15)\\x2 = (-30 – 30,9839) / (2*15)\\x2 = -60,9839 / 30\\x2 = -2,0328[/tex]
x2 não serve, pois é negativo
Logo, a taxa de juros anuais é aproximadamente 3,28%
Observação: essa taxa é exatamente a TIR (Taxa Interna de Retorno), que compreende na taxa média que iguala a soma dos fluxos de entrada com a soma dos fluxos de saída em uma data específica. Pode ser calculada considerando os fluxos de caixa:
(15000)
0
16000
Com base na fórmula para Juros Compostos, concluímos que a taxa foi de aproximadamente 3,28%
→ O rendimento dos Juros compostos são aqueles em que o cálculo são sobrepostos, ou seja, os rendimentos são sempre considerados para o cálculo do próximo período de taxa.
Importante:
→ A Taxa e o Tempo devem ser equivalentes, se a taxa é dada em ano, o tempo também deve ser.
→ Montante = Capital investido adicionado ao Juros ⇒ M = C + J
Vamos utilizar a fórmula:
[tex]\large \text {$ M = C \cdot (1 + i)^t $}[/tex]
Com:
M = Montante
C = Capital investido
i = Taxa / 100
t = Tempo
Vamos aos dados:
C = R$ 15000,00
J = Juros = R$ 1000,00
t = 2 anos
Se
[tex]\large \text {$ M = C + J $}[/tex] então,
[tex]\large \text {$ M = 15000 + 1000 $}[/tex]
[tex]\large \text {$ M = R\$~16000, 00 $}[/tex]
Substituindo na fórmula:
[tex]\large \text {$ M = C \cdot (1 + i)^t $}[/tex]
[tex]\large \text {$ 16000 = 15000 \cdot (1 + i)^2 $}[/tex]
[tex]\large \text {$ \dfrac{16000}{15000} = (1 + i)^2 $}[/tex]
[tex]\large \text {$ (1 + i)^2 = 1,066667 $}[/tex]
[tex]\large \text {$ 1 + i = \sqrt[2]{1,066667} $}[/tex]
[tex]\large \text {$ 1 + i = 1,032796 $}[/tex]
[tex]\large \text {$ i = 1,032796 – 1$}[/tex]
[tex]\large \text {$ i = 0,032796 $}[/tex]
Como, na fórmula, a taxa esta dividida por 100, e queremos a taxa por cento, basta multiplicar por 100:
[tex]\large \text {$ i = 0,032796 \cdot 100 $}[/tex]
[tex]\large \text {$ \boxed{ i = 3,2796 \% ~ao ~ano} $}[/tex]
Vamos conferir, aplicando o capital à taxa de 3,2796% ao ano, por 2 anos:
i = 3,2796 / 100 = 0,032796
[tex]\large \text {$ M = 15000 \cdot (1 + 0,032796)^2 $}[/tex]
[tex]\large \text {$ M = 15000 \cdot (1,032796)^2 $}[/tex]
[tex]\large \text {$ M = 15000 \cdot 1,066667 $}[/tex]
[tex]\large \text {$ M = R\$~ 16000,00 $}[/tex]
Que é exatamente C + J ⇒ 15000 + 1000
CERTINHO!
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Guilherme
Desenvolvedor Full Stack com formação em Análise e Desenvolvimento de Sistemas (ADS). Especialista em tecnologia e SEO, dedicando a transformar informações complexas em guias práticos e acessíveis no portal Toda Matéria.
