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Considere os números complexos z = 2 · (cos 30° + isen 30°) e...

Mickablack

Considere os números complexos z = 2 · (cos 30° + isen 30°) e u = z5. Os pontos P e Q são os afixos (ou imagens) dos complexos z e u, respectivamente. O ponto médio do segmento tem coordenadas iguais a:​

1 Resposta

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Fernandaa

large extsf{resposta: alternativa a) reta.}

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largeegin{array}{l} extsf{Seja }\ mathsf{z=a+bi}\ extsf{com }mathsf{a,,binmathbb{R}.}\ extsf{A parte real de z 'e }mathsf{Re(z)=a,}\ extsf{A parte imagin'aria de z 'e }mathsf{Im(z)=b.} end{array}

largeegin{array}{l} extsf{Queremos encontrar o conjunto das imagens dos complexos z} extsf{(lugar geom'etrico no plano de Argand-Gauss) que satisfac{c}am}\ mathsf{|z+1|=|z-1|} end{array}

largeegin{array}{l} extsf{O que temos de fazer 'e resolver esta equac{c}~ao para z.}\ extsf{Resolvendo,}\ mathsf{|z+1|=|z-1|}\ mathsf{|(a+bi)+1|=|(a+bi)-1|}\ mathsf{|(a+1)+bi|=|(a-1)+bi|}\ mathsf{sqrt{(a+1)^2+b^2}=sqrt{(a-1)^2+b^2}} end{array}

largeegin{array}{l}\ extsf{Dois n'umeros reais n~ao-negativos t^em ra'izes quadradas} extsf{iguais somente se eles forem iguais:}\ mathsf{(a+1)^2+b^2=(a-1)^2+b^2}\ mathsf{a^2+2a+1+b^2=a^2-2a+1+b^2}\ mathsf{a^2+2a+1+b^2-a^2+2a-1-b^2=0}\ mathsf{a^2-a^2+2a+2a+1-1+b^2-b^2=0}\ mathsf{4a=0}\ mathsf{a=0}\ herefore~~mathsf{z=bi,quad binmathbb{R}}qquad extsf{(z 'e imagin'ario puro).} end{array}

largeegin{array}{l} extsf{A imagem de um complexo imagin'ario puro se encontra} extsf{sobre o eixo imagin'ario (eixo vertical do plano).}\ extsf{O conjunto S das imagens dos complexos z que satisfazem} extsf{a equac{c}~ao dada 'e}\ oxed{egin{array}{l}mathsf{S=left{(0,,b):~binmathbb{R}ight}}end{array}}quadlongleftarrowquad extsf{esta 'e uma reta no plano.}\ extsf{que geometricamente 'e a reuni~ao de todos os pontos do} extsf{plano cuja abscissa 'e 0 (pontos sobre o eixo imagin'ario).} end{array}

largeegin{array}{l} extsf{resposta: alternativa a) reta.} end{array}

________

largeegin{array}{l} extsf{Nota adicional: Os n'umeros envolvidos nos m'odulos}\ mathsf{w_1=z+1~~e~~w_2=z-1}\ extsf{sempre podem ser escritos respectivamente na forma}\ mathsf{w_1=1+bi~~e~~w_2=-1+bi,quad binmathbb{R}.}\ extsf{Podemos ver que }mathsf{w_1~e~w_2} extsf{ possuem a mesma parte imagin'aria,} extsf{mas suas partes reais s~ao opostas.}\ extsf{Isto significa que as imagens de }mathsf{w_1~e~w_2} extsf{ s~ao sim'etricas em} extsf{relac{c}~ao ao eixo imagin'ario (veja figura em anexo).} end{array}

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largeegin{array}{l} extsf{D'uvidas? Comente.}\ extsf{Bons estudos! :-)} end{array}

Tags: equação módulo complexo lugar geométrico afixo imagem eixo imaginário simetria simétrico plano Argand Gauss

Qual é o conjunto das imagens dos complexos z tais que |z+1|=|z-1|? a)reta b)circunferência c)elips
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