Obtenha a derivada da funçãof(x)= x⁵​

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Obtenha a derivada
da função
f(x)= x⁵​

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Yorrana

oxed{old{f'(x)=-dfrac{x^2+2x}{(x^2+x+1)^2}}}

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos a derivada desta função, devemos nos relembrar de algumas técnicas de derivação.

Seja a função:

f(x)=dfrac{x+1}{x^2+x+1}

Diferenciamos ambos os lados em respeito à variável x

f'(x)=left(dfrac{x+1}{x^2+x+1} ight)'

Lembre-se que:

A derivada de uma função racional é calculada pela regra do quociente: left(dfrac{u}{v} ight)'=dfrac{u'cdot v-ucdot v'}{v^2}.A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.A derivada de uma potência é dada por: (x^n)'=ncdot x^{n-1}.A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplique a regra do quociente

f'(x)=dfrac{(x+1)'cdot(x^2+x+1)-(x+1)cdot(x^2+x+1)'}{(x^2+x+1)^2}

Aplique a regra da soma

f'(x)=dfrac{[(x)'+(1)']cdot(x^2+x+1)-(x+1)cdot[(x^2)'+(x)'+(1)']}{(x^2+x+1)^2}

Calcule as derivadas das potências e das constantes

f'(x)=dfrac{x^2+x+1-(x+1)cdot(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

f'(x)=dfrac{x^2+x+1-2x^2-3x-1}{(x^2+x+1)^2}

Some os termos semelhantes

f'(x)=-dfrac{x^2+2x}{(x^2+x+1)^2}

Esta é a derivada desta função.

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