Seja f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a x ao qua...

Question

Seja f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a x ao qua...

Solange Henriques

há 3 anos

Seja f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a x ao quadrado cúbica raiz de x mais 1 fim da raiz vírgula x maior ou igual a menos 1. Determine a integral indefinida de f parêntese esquerdo x parêntese direito:

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Gabriel Carvalhosa · Answer 1 · 2022-04-14T08:27:16-03:00

Resposta:

Alternativa A

Explicação passo a passo:

integração por partes...

int udv = uv - int vdu

fazendo

u = x² então du = 2xdx

dv = cosxdx então v = senx

assim...

$int x^{2} cosxdx = x^{2}senx- int senx2xdx$

$= x^{2}senx-2 int xsenxdx$

aplicando a inetgração por partes nessa segunda integral...

u = x então du = dx

dv = senxdx então v = -cosx, daí...

int xsenxdx = -xcosx - int -cosxdx = -xcosx +int cosxdx = -xcosx + senx + c

voltando o resultado dessa integral para a anterior teremos

$int x^{2}cosxdx = x^{2}senx- 2int xsenxdx =\x^{2} senx - 2[-xcosx +senx] + C$

$x^{2}senx + 2xcosx - 2senx +C$

deixando senx em evidência teremos...

$(x^{2} -2)senx + 2xcosx +C$

E assim, a opção correta é a alternativa A

Boa noite =)

frak{Scorpionatico}

Schaianev · Answer 2 · 2022-11-29T17:07:15-03:00

⇒ Aplicando nossos conhecimentos sobre Técnicas de Integração, concluímos que a integral indefinida da função dada está corretamente descrita na alternativa a

Vamos a técnica da substituição de variável. Aqui seja u=2-cos x , então du/dx=sin x ou dx=du/sin x . Subsituindo na integral:

$egin{array}{l}displaystyleint frac{sin x}{sqrt{2-cos x}} dx=int frac{cancel{sin x}}{sqrt{u}}frac{du}{cancel{sin x}}\\displaystyle=int frac{1}{sqrt{u}} duend{array}$

➜ Usando as propriedades $1/a=a^{-1}$ e $sqrt[n]{a^{m}} =a^{m/n}$ ,

$displaystyle int frac{1}{sqrt{u}} du=int u^{-1/2} du$

➜ Sabendo que $displaystyle int ax^{n} dx=afrac{x^{n+1}}{n+1} +c, n eq -1$ ,

$displaystyle int u^{-1/2} du=frac{u^{1/2}}{1/2} +c=2sqrt{u} +c$

➜ Por fim, devolvendo a substituição:

2sqrt{u} +c=2sqrt{2-cos x}+c

∴ Se $f(x)=frac{sin x}{sqrt{2-cos x}}$ , então int f(x)dx=2sqrt{2-cos x}+c ✍️

☞ Leia mais sobre esse assunto em:

Marquesdani · Answer 3 · 2023-01-16T16:16:21-03:00

⇒ Aplicando nossos conhecimentos sobre Técnicas de Integração, concluímos que a integral indefinida da função dada está corretamente descrita na alternativa a

♦︎ Desejamos calcular a seguinte integral indefinida:

$displaystyle int frac{1}{sqrt{1-2x^{2}}} dx$

♦︎ Há uma integral tabelada que é

$displaystyleint frac{1}{sqrt{a^{2} -u^{2}}} du=arcsinleft(frac{u}{a} ight)+c$

➜ Na sua questão, note que a=1 , 2x^2=u^2 , i.e., xsqrt2=u , e du=dxsqrt2 .

➜ Substituindo na nossa integral:

$displaystyleint frac{1}{sqrt{a^{2} -2x^{2}}} dx=int frac{1}{sqrt{1-u^{2}}}frac{du}{sqrt{2}}$

➜ Usando a propriedade displaystyle int kf( x) dx=kint f( x) dx ,

$egin{array}{l}displaystyle int frac{1}{sqrt{1-u^{2}}}frac{du}{sqrt{2}} =frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{1-u^{2}}} du\\displaystyle =frac{1}{sqrt{2}}arcsinleft(u ight) +cend{array}$

➜ Devolvendo a substituição,

$displaystyle frac{1}{sqrt{2}}arcsin( u) +c=frac{1}{sqrt{2}}arcsinleft( xsqrt{2} ight) +c$

∴ Se $displaystyle f( x) =frac{1}{sqrt{1-2x^{2}}}$ , então $displaystyle int f( x) dx=frac{1}{sqrt{2}}arcsinleft( xsqrt{2} ight) +c$ , o que consta na alternativa a___✍️

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