Pergunta:
O quadrado [ABCD] tem 4 m de lado. Sabe-se que E e F são pontos dos lados [CD] e [AD], respetivamente, sendo DE=DF=2 m. Qual é a área do triângulo [BEF]? D FL A E C B
Após realizar os cálculos, concluímos que a área do triângulo BEF é de 6 metros quadrados.
A resolução deste problema será dividida em três passos, para um melhor entendimento.
Primeiro passo: Desenhar e entender a figura!
Primeiramente, precisamos desenhar um quadrado ABCD com 4 metros de lado. Na qual, com esta informação, sabemos que: AB = BC = CD = AD = 4.
Após isso, colocamos um ponto E como ponto médio do lado CD, formando dois segmentos: CE e DE, ambos com 2 metros de lado.
Agora, colocamos um ponto F como ponto médio do lado AD, formando também dois segmentos: AF e DF, ambos com 2 metros de lado.
Observação: Ambos os pontos, E e F, são pontos médio de seus respectivos lados, pois formam dois lados de 2 metros que é a metade de 4 metros, o lado do quadrado.
Por fim, iremos ligar os pontos B, E e F, formando assim o triângulo solicitado pelo problema.
Segundo passo: Calcular os lados do triângulo BEF!
Ao olhar para o triângulo BEF, percebe-se a ausência dos valores de três lados do triângulo, são eles: BE, EF e BF.
Além disso, nota-se que todos estes lados citados acima, são hipotenusas de outros triângulos formados após a ligação dos pontos B, E e F.
E, consequentemente, percebe-se também que como AB e AF, catetos do triângulo ABF, são iguais aos catetos BC e CE, do triângulo BEC, podemos concluir que os lados BF e BE são iguais, ou seja, o triângulo BEF é isósceles.
Com esse entendimento, facilitaremos nosso cálculo:
Para achar o lado BF, temos que:
[tex]BF^{2} =4^{2} +2^{2}[/tex]
[tex]BF^{2} =20[/tex]
[tex]BF=2\sqrt{5}[/tex]
Como BF = BE:
[tex]BE=2\sqrt{5}[/tex]
Para calcular o lado EF, temos que:
[tex]EF^{2}=2^{2} +2^{2}[/tex]
[tex]EF^{2} =8[/tex]
[tex]EF=2\sqrt{2}[/tex]
Terceiro passo: Encontrar a área de BEF!
Tendo em vista que conseguimos encontrar os lados de BEF, podemos achar sua altura e por fim, sua área.
Para encontrar a altura do triângulo BEF, temos que tracejar um segmento perpendicular a base EF, e com isso, dividiremos o lado EF em dois lados iguais:
Como a base é [tex]2\sqrt{2}[/tex] ( EF ), a metade seria:
[tex]\dfrac{2\sqrt{2} }{2}=\sqrt{2}[/tex]
E, como os lados BF e BE são iguais, ambos podem ser utilizados e darão o mesmo resultado para a altura de BEF.
Com isso, aplicaremos Pitágoras em BEF com os valores encontrados anteriormente. Sendo os catetos: [tex]\sqrt{2}[/tex] e [tex]h[/tex] e hipotenusa [tex]2\sqrt{5}[/tex].
[tex](2\sqrt{5})^{2}=h^{2} +(\sqrt{2})^{2}[/tex]
[tex]20=h^{2} +2[/tex]
[tex]h^{2} =18[/tex]
[tex]h=3\sqrt{2}[/tex]
Agora, calculando a área:
[tex]A~(BEF)=\dfrac{b*h}{2}[/tex]
[tex]A~(BEF)=\dfrac{2\sqrt{2} *3\sqrt{2} }{2}[/tex]
[tex]A~(BEF)=3*(\sqrt{2})^{2}[/tex]
[tex]A~(BEF)=3*2=6[/tex]
Portanto, confirmamos que a área do triângulo BEF é de 6 metros quadrados.
Espero ter ajudado a responder seu exercício!
Veja mais sobre Triângulos em:
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Guilherme
Desenvolvedor Full Stack com formação em Análise e Desenvolvimento de Sistemas (ADS). Especialista em tecnologia e SEO, dedicando a transformar informações complexas em guias práticos e acessíveis no portal Toda Matéria.
