demonstre, por indução finita, que 7^(elevado)n - 4^(elevado)n é um múltiplo de 3, para todo numero natural
demonstre, por indução finita, que 7^(elevado)n - 4^(elevado)n é um múltiplo de 3, para todo numero natural n > 0.
1 Resposta
Explicação passo-a-passo:
Primeiro vamos lembrar de duas propriedades dos restos:
A soma dos restos é o resto da soma;O produto dos restos é o produto da soma;Também precisamos lembrar que para ser múltiplo de 3, um número só precisa deixar resto 0 na divisão por 3.
Verificamos para n=1:
Veja que o resto da divisão de 7 por 3 é 1;
O mesmo para 4.
Por isso, quando subtraímos os restos, temos um resto total de 0.
Quando n=k, sendo k um número qualquer, temos que o resto de 
é igual ao resto de 7 elevado a k, ou seja: 
.
A mesma coisa para o 4, o resto de 
é 1.
Subtraíndo os restos 1-1 = 0
Ou seja, o resto dessa divisão por 3 sempre será 0, então sempre será múltiplo de 3.
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